计算几何（Computational Geometry），是一系列使用计算机解决几何问题的算法。与解析几何相比，计算几何更适合计算机运算，精度较高，运算速度较快，并且易于编写。
本文只包含二维计算几何在 OI 中的部分应用。
浮点误差
程序设计中，考虑到浮点数 double 有精度误差，在比较时，通常允许一定的误差，即对于两个数 、，如果 ，则认为 。一般根据题目要求，（代码中命名为 EPS）取一个较小值，如 。
const double EPS = 1e-8;
// 带误差比较，返回 x 是否等于 y
inline bool dcmp(double x, double y = 0)
{
return fabs(x - y) <= EPS;
}
向量
向量（vector）是一个有大小和方向的量，在几何中，它被表示为带箭头的线段。向量可以用起点和终点的坐标来表示 —— 从点 到点 的向量表示为 。
向量的书写，两个大写字母上加一个箭头（表示方向），或者加粗的小写字母 。
向量没有位置，即向量可以在平面内任意平移而保持其本身的性质不变 —— 所以我们可以将向量平移至其起点与原点 重合，用终点坐标表示这个向量，下文称此方法为坐标表示法，除特殊说明外，下文表示向量均使用此方法。
两个向量的夹角 定义为从 旋转到 所经过的角度，逆时针为正，顺时针为负。
向量范数（norm），这里简单定义向量 的范数为 ，即长度的平方 。这样定义的好处是，可以方便地比较两个向量的长度，而不需要开平方。
与向量相对的概念是标量（scalar），标量只有大小没有方向。
向量的基本运算
两个向量相加，遵循平行四边形定则（或三角形定则），。
两个向量相减与相加类似，除此之外，点可以加减一个向量，表示将点按照向量所指向的方向进行平移。
向量的数乘，将一个向量乘或除以 ，表示将向量所对应的有向线段长度变为原来的 倍或 分之一。
可以发现，向量和点的运算是相似的，在程序中，可以使用同一种类型来表示向量和点：
/*
* 向量（Vector）或点
*
* 使用原点到一个点 (x, y) 的有向线段表示向量
* 从点 A 到点 B 的向量表示为 A - B
*/
typedef struct Vec
{
double x, y;
Vec(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}
// 相加
Vec operator+(const Vec &v) const
{
return Vec(x + v.x, y + v.y);
}
// 相减
Vec operator-(const Vec &v) const
{
return Vec(x - v.x, y - v.y);
}
// 数乘（伸长、缩短）
Vec operator*(double d) const
{
return Vec(x * d, y * d);
}
Vec operator/(const double d) const
{
return Vec(x / d, y / d);
}
// 范数，用来比较长度，等于长度的平方
double norm() const
{
return x * x + y * y;
}
} Pt;
为了方便阅读，我们定义类型点 Pt 为向量 Vec 的别名，在代码中区别「点」和「向量」。同时，应记住点与向量的运算中的类型：
- 向量 向量 向量
- 点 向量 点
- 向量 数 向量
向量乘法
向量的乘法分为两种 —— 点乘（Dot）和叉乘（Cross）。
点乘
向量的点乘表示为 ，设 ，则
点乘的结果是一个标量，它表示 在 所在直线上的投影长度与 长度的乘积，即
从上式中可以看出，因为 ，所以 ，即点乘满足交换律。
叉乘
向量的叉乘表示为 ，设 ，则
叉乘的结果是一个标量，它表示以 与 为邻边的平行四边形的（有向）面积，即
这个平行四边形可以以 为底，底边上的高即为 。
结果的符号与 相同，即当 在 逆时针方向时，结果为正。
如果需要求以两向量为两边的三角形面积，可以求出平行四边形面积后除以二。
代码实现
// 点乘
double dot(const Vec &a, const Vec &b)
{
return a.x * b.x + a.y * b.y;
}
// 叉乘
double cross(const Vec &a, const Vec &b)
{
return a.x * b.y - a.y * b.x;
}
直线与线段
用直线上的两个点表示直线，用线段的两端点表示线段。
直线上的两个点组成的向量，被称为这条直线的一个方向向量。
点在直线上的判定
如果点 在直线上，则以 、 为邻边的平行四边形不存在（面积为零），即 。
bool include(const Pt &p) const
{
return dcmp(cross(a - p, b - p));
}
判断两直线关系
- 如果一条直线上的两个点都在另一条实现上，则两条直线重合；
- 如果不重合的两条直线的方向向量叉乘得零（无法组成平行四边形），则两条直线平行。
// 两直线关系（交点个数）
// 0 表示平行（无交点）
// 1 表示相交（一个交点）
// -1 表示重合（无数个交点）
static int relation(const Line &a, const Line &b)
{
if (a.include(b.a) && a.include(b.b)) return -1;
else if (dcmp(cross(a.b - a.a, b.b - b.a))) return 0;
else return 1;
}
求两直线交点
在判断相交后，可以求两直线 、 的交点。设其交点为 ，分别过点 、 作 的垂线，连接 、、、。作向量 ，只需要求出 ，即可得到 。
因为
所以
所以
即
用叉乘计算面积，求出向量 即可，注意计算面积时的方向。
// 求两直线交点（需要保证两直线有交点）
static Pt intersect(const Line &a, const Line &b)
{
double s1 = cross(b.a - a.a, b.b - a.a), s2 = cross(b.b - a.b, b.a - a.b);
return a.a + (a.b - a.a) * s1 / (s1 + s2);
}
点在线段上的判定
如果点 在线段 所在的直线上，则以 、 为邻边的平行四边形不存在（面积为零），即 。
此时还需判断 是否在 与 之间。
- 如果 ，则表示 （）；
- 如果 ，则表示 （）；
- 如果 ，则表示 或 ，即 与 或 重合。
后两种情况表明点 在 上。
// 线段包含点（点在线段上）
bool include(const Pt &p) const
{
// PA × PB = 0：PA 与 PB 共线，即点在线段所在的直线上
// PA · PB < 0：PA 与 PB 方向不同（A 和 B 分别在 P 的两边），如果 PA · PB = 0 则 P = A 或 P = B
return dcmp(cross(a - p, b - p)) && dot(a - p, b - p) <= 0;
}
线段相交 / 求交点
求对应所在直线的交点，判断是否在线段上即可。
多边形
多边形（polygon）通常用顺时针或逆时针排列的顶点来表示。
struct Poly
{
std::vector<Pt> pts;
};
点在多边形内的判定
判断点是否在多边形内部，常使用射线法，即从该点引一条平行于 轴的射线，如果它与多边形有奇数个交点，则该点在多边形内，否则在多边形外。
考虑相邻两个顶点 与 ，判断由 引出的水平向右的射线有没有与线段 相交。作向量 ，分别过 、 作 轴的垂线，垂足分别为 、，设
如果 在 的顺时针方向上，即 ，则需要 在 上方， 在 下方，即
注意到 可以为 ，即射线穿过 被认为与当前边相交，因为可能会有这种情况
此时不应认为 在多边形内，如果因为 被认为被射线穿过了一次，则会误判。解决方案是对于每一条边，只将射线穿过上方点（也可以取下方点）的情况下认为射线与边相交，这样 会被统计两次（或零次），不会影响判断。
如果 在 的逆时针方向上，即 ，则需要 在 下方， 在 上方，即 。
代码实现
struct Poly
{
std::vector<Pt> pts;
bool include(const Pt &p) const
{
int cnt = 0;
// 判断与每条边有没有交点
for (size_t i = 0; i < pts.size(); i++)
{
// 枚举相邻的每两个点
const Pt &a = pts[i], &b = pts[(i + 1) % pts.size()];
// 如果点 P 在边 AB 上
if (Seg(a, b).include(p)) return true;
// 详见图
double d1 = a.y - p.y, d2 = b.y - p.y, tmp = cross(a - p, b - p);
if ((tmp >= 0 && d1 >= 0 && d2 < 0) || (tmp <= 0 && d1 < 0 && d2 >= 0)) cnt++;
}
// 奇数的交点
return cnt % 2 == 1;
}
};
多边形面积
按顺序枚举每两个相邻的顶点，将每两个相邻的顶点与原点围成的三角形面积累加起来。因为所有不包含在多边形内的区域都被一正一负计算了偶数次，所以最终结果只包含多边形内的部分。
如图，浅蓝色部分被计算了两次，点 左下深色部分，在多边形内的部分被计算了三次，不在多边形内的部分被计算了四次，其它在多边形内部的部分被计算了一次。
如果按照逆时针顺序枚举，则结果为正，否则结果为负。
// 多边形面积（有向面积）
double area() const
{
double res = 0;
for (size_t i = 0; i < pts.size(); i++)
{
// 枚举每两个点
const Pt &a = pts[i], &b = pts[(i + 1) % pts.size()];
res += cross(a, b);
}
return res / 2;
}
凸包
在平面内，对于给定的一些点，包含这些点的最小凸多边形被称为凸包（Convex Hull）。
求凸包的一种方法是 Graham's Scan，算法的流程为：
- 选出横坐标最小（横坐标相同时纵座标最小）的点，作为极点，该点一定在凸包上；
- 对其它点按照与极点的极角排序，极角相同的按照与极点的距离排序；
- 用栈维护当前在凸包上的点，按顺序考虑每一个点是否可以替换栈顶的点。
这里极角是指，过极点 作水平向右的向量 ，则点 的极角为 。比较两个点 、 的极角，如果 经过逆时针旋转到 ，即 ，则 极角序较小。
枚举每一个点，考虑新加入一个点的影响：
当前已被加入到凸包中的点为 （极点）、、、，考虑新加入点 的影响 —— 相对于 向顺时针方向旋转了（即 ），此时这些边一定无法组成一个凸多边形。所以要将 点从凸包中删除，加入 点。这种情况我们称 的连线不合法。
加入一个点时，应当考虑与栈顶点的连线是否合法，如果不合法，则将栈顶点删除，继续考虑栈顶点，直到栈中只剩一个点或连线合法。
// 求凸包用的点
int n;
Pt a[MAXN + 1];
// 凸包极角排序的比较函数
inline bool compare(const Pt &a, const Pt &b)
{
// 两个向量
Vec va = a - ::a[1], vb = b - ::a[1];
double t = cross(va, vb);
if (!dcmp(t)) return t > 0; // OA -> OB 是逆时针，则 A 极角序在先
else return va.norm() < vb.norm(); // norm 较小的长度较小
}
struct Poly
{
std::vector<Pt> pts;
// 求凸包（Convex），结果储存在自身 pts 中
void convex()
{
// 找出最左下角的点
int id = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (a[i].x < a[id].x || (a[i].x == a[id].x && a[i].y < a[id].y)) id = i;
}
if (id != 1) std::swap(a[1], a[id]);
// 排序
std::sort(a + 2, a + n + 1, &compare);
// 极角序扫描
pts.push_back(a[1]);
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
// 比较，如果最后一个点需要被删掉则弹出（pop_back）
while (pts.size() >= 2 && cross(pts.back() - pts[pts.size() - 2], a[i] - pts.back()) <= 0) pts.pop_back();
pts.push_back(a[i]);
}
}
};
完整代码
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
const int MAXN = 100000;
const double EPS = 1e-8;
// 带误差比较
inline bool dcmp(double x, double y = 0)
{
return fabs(x - y) <= EPS;
}
/*
* 向量（Vector）或点
*
* 使用原点到一个点 (x, y) 的有向线段表示向量
* 从点 A 到点 B 的向量表示为 A - B
*/
typedef struct Vec
{
double x, y;
Vec(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}
// 相加
Vec operator+(const Vec &v) const
{
return Vec(x + v.x, y + v.y);
}
// 相减
Vec operator-(const Vec &v) const
{
return Vec(x - v.x, y - v.y);
}
// 数乘（伸长、缩短）
Vec operator*(double d) const
{
return Vec(x * d, y * d);
}
Vec operator/(const double d) const
{
return Vec(x / d, y / d);
}
// 范数，用来比较长度，等于长度的平方
double norm() const
{
return x * x + y * y;
}
} Pt;
// 点乘
double dot(const Vec &a, const Vec &b)
{
return a.x * b.x + a.y * b.y;
}
// 叉乘
double cross(const Vec &a, const Vec &b)
{
return a.x * b.y - a.y * b.x;
}
// 线段（Segment），用两个点表示
struct Seg
{
Pt a, b;
Seg(const Pt &a, const Pt &b) : a(a), b(b) {}
// 线段包含点（点在线段上）
bool include(const Pt &p)
{
// PA × PB = 0：PA 与 PB 共线，即点在线段所在的直线上
// PA · PB = 0：PA 与 PB 方向不同（A 和 B 分别在 P 的两边），如果 PA · PB = 0 则 P = A 或 P = B
return dcmp(cross(a - p, b - p)) && dot(a - p, b - p) <= 0;
}
};
// 直线，用两个点表示
struct Line
{
Pt a, b;
Line() {} // 提供一个不需要参数的构造函数
Line(const Pt &a, const Pt &b) : a(a), b(b) {}
bool include(const Pt &p) const
{
return dcmp(cross(a - p, b - p));
}
// 两直线关系（交点个数）
// 0 表示平行（无交点）
// 1 表示相交（一个交点）
// -1 表示重合（无数个交点）
static int relation(const Line &a, const Line &b)
{
if (a.include(b.a) && a.include(b.b)) return -1;
else if (dcmp(cross(a.b - a.a, b.b - b.a))) return 0;
else return 1;
}
// 求两直线交点（需要保证两直线有交点）
static Pt intersect(const Line &a, const Line &b)
{
double s1 = cross(b.a - a.a, b.b - a.a), s2 = cross(b.b - a.b, b.a - a.b);
return a.a + (a.b - a.a) * s1 / (s1 + s2);
}
};
// 求凸包用的点
int n;
Pt a[MAXN + 1];
// 凸包极角排序的比较函数
inline bool compare(const Pt &a, const Pt &b)
{
// 两个向量
Vec va = a - ::a[1], vb = b - ::a[1];
double t = cross(va, vb);
if (!dcmp(t)) return t > 0; // OA -> OB 是逆时针，则 A 极角序在先
else return va.norm() < vb.norm(); // norm 较小的长度较小
}
struct Poly
{
std::vector<Pt> pts;
bool include(const Pt &p) const
{
int cnt = 0;
// 判断与每条边有没有交点
for (size_t i = 0; i < pts.size(); i++)
{
// 枚举相邻的每两个点
const Pt &a = pts[i], &b = pts[(i + 1) % pts.size()];
// 如果点 P 在边 AB 上
if (Seg(a, b).include(p)) return true;
// 详见图
double d1 = a.y - p.y, d2 = b.y - p.y, tmp = cross(a - p, b - p);
if ((tmp >= 0 && d1 >= 0 && d2 < 0) || (tmp <= 0 && d1 < 0 && d2 >= 0)) cnt++;
}
// 奇数的交点
return cnt % 2 == 1;
}
// 多边形面积（有向面积）
double area() const
{
double res = 0;
for (size_t i = 0; i < pts.size(); i++)
{
// 枚举每两个点
const Pt &a = pts[i], &b = pts[(i + 1) % pts.size()];
res += cross(a, b);
}
return res / 2;
}
// 求凸包（Convex），结果储存在自身 pts 中
void convex()
{
// 找出最左下角的点
int id = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (a[i].x < a[id].x || (a[i].x == a[id].x && a[i].y < a[id].y)) id = i;
}
if (id != 1) std::swap(a[1], a[id]);
// 排序
std::sort(a + 2, a + n + 1, &compare);
// 极角序扫描
pts.push_back(a[1]);
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
// 比较，如果最后一个点需要被删掉则弹出（pop_back）
while (pts.size() >= 2 && cross(a[i] - pts[pts.size() - 2], pts.back() - pts[pts.size() - 2]) >= 0) pts.pop_back();
pts.push_back(a[i]);
}
}
};