乘法逆元的几种计算方法

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乘法逆元是数论中重要的内容，也是 OI 中常用到的数论算法之一。所以，如何高效的求出乘法逆元是一个值得研究的问题。

这里我们只讨论当模数为素数的情况，因为如果模数不为素数，则不一定每个数都有逆元。

定义

在 的意义下我们把 的乘法逆元写作 。 乘法逆元有如下的性质：

乘法逆元的一大应用是模意义下的除法，除法在模意义下并不是封闭的，但我们可以根据上述公式，将其转化为乘法。

费马小定理

要求 为素数。

上述公式可变形为

由乘法逆元的定义， 即为 的乘法逆元。

使用快速幂计算 ，总时间复杂度为 。

代码

inline int pow(const int n, const int k) {
    long long ans = 1;
    for (long long num = n, t = k; t; num = num * num % MOD, t >>= 1) if (t & 1) ans = ans * num % MOD;
    return ans;
}

inline int inv(const int num) {
    return pow(num, MOD - 2);
}

扩展欧几里得

扩展欧几里得（EXGCD）算法可以在 的时间内求出关于 、 的方程

的一组整数解

当 为素数时，，此时有

时间复杂度为 。

代码

void exgcd(const int a, const int b, int &g, int &x, int &y) {
    if (!b) g = a, x = 1, y = 0;
    else exgcd(b, a % b, g, y, x), y -= x * (a / b);
}

inline int inv(const int num) {
    int g, x, y;
    exgcd(num, MOD, g, x, y);
    return ((x % MOD) + MOD) % MOD;
}

递推法

设 ，（，），则有

两边同时乘上 ，得

移项，得

即

我们可以利用这个式子进行递推，边界条件为 ，时间复杂度为 。

代码

inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= MAXN; i++) inv[i] = ((-(MOD / i) * inv[MOD % i]) % MOD + MOD) % MOD;