「JSOI2016」飞机调度 - 最短路 + 网络流

JSOI 王国里有个机场，编号为到。从号机场到号机场需要飞行的时间。由于风向，地理位置和航空管制的因素，和并不一定相同。

此外，由于飞机降落之后需要例行维修和加油。当一架飞机降落号机场时，需要花费的维护时间才能再次起飞。

JS Airways 一共运营条航线，其中第条直飞航线需要在时刻从机场起飞，不经停，飞往机场。

为了简化问题，我们假设 JS Airway 可以在时刻在任意机场布置任意多架加油维护完毕的飞机；为了减少飞机的使用数，我们允许 JS Airways 增开任意多条临时航线以满足飞机的调度需求。

JYY 想知道，理论上 JS Airways 最少需要多少架飞机才能完成所有这个航班。

题解

根据题意，从机场经过机场飞往机场（不计在、的维护时间）所需时间为，所以我们可以先使用 Floyd 求出任意两个机场之间经过若干次中转可以到达的最短时间。

考虑两条航线和，若一架飞机飞完后可以接着飞，则需要满足的条件为（二者之一）：

的终点为的起点，且的着陆时间加上维护时间早于的起飞时间；
的着陆时间加上从的终点经过若干次中转到的起点所用时间加上若干次维护时间早于的起飞时间。

根据上述两个条件，可以建立一张有向无环图，有边当且仅当一架飞机飞完航线后可以接着飞航线。即一架飞机连续飞的航线组成了图中的一条路径，题目中要求飞机数最少，即可转化为使用最少的路径覆盖整个图，转化为二分图匹配模型，使用网络流解决即可。

代码

#include <cstdio>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <queue>

const int MAXN = 500;
const int MAXM = 500;

struct Node;
struct Edge;

struct Node {
    Edge *e, *c;
    int l;
    bool flag;
} N[MAXM * 2 + 2];

struct Edge {
    Node *s, *t;
    int f, c;
    Edge *next, *r;

    Edge(Node *const s, Node *const t, const int c) : s(s), t(t), f(0), c(c), next(s->e) {}
};

inline void addEdge(const int s, const int t, const int c) {
    // printf("(%d, %d, %d)\n", s, t, c);
    N[s].e = new Edge(&N[s], &N[t], c);
    N[t].e = new Edge(&N[t], &N[s], 0);
    N[s].e->r = N[t].e, N[t].e->r = N[s].e;
}

struct Dinic {
    bool makeLevelGraph(Node *const s, Node *const t, const int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) N[i].l = 0, N[i].c = N[i].e;

        std::queue<Node *> q;
        q.push(s);
        s->l = 1;

        while (!q.empty()) {
            Node *v = q.front();
            q.pop();

            for (Edge *e = v->e; e; e = e->next) if (e->t->l == 0 && e->f < e->c) {
                e->t->l = v->l + 1;
                if (e->t == t) return true;
                else q.push(e->t);
            }
        }

        return false;
    }

    int findPath(Node *const s, Node *const t, const int limit = INT_MAX) {
        if (s == t) return limit;

        for (Edge *&e = s->c; e; e = e->next) if (e->t->l == s->l + 1 && e->f < e->c) {
            int f = findPath(e->t, t, std::min(limit, e->c - e->f));
            if (f > 0) {
                e->f += f, e->r->f -= f;
                return f;
            }
        }

        return 0;
    }

    int operator()(const int s, const int t, const int n) {
        int ans = 0;
        while (makeLevelGraph(&N[s], &N[t], n)) {
            int f;
            while ((f = findPath(&N[s], &N[t])) > 0) ans += f;
        }

        return ans;
    }
} dinic;

struct Airline {
    int s, t, time;
} A[MAXM];

int n, m, p[MAXN], t[MAXN][MAXN], d[MAXN][MAXN];
int S, T;

inline void floyd() {
    for (int k = 0; k < n; k++) for (int i = 0; i < n; i++) for (int j = 0; j < n; j++)
        if (i != j)
            d[i][j] = std::min(d[i][j], d[i][k] + p[k] + d[k][j]);

    // for (int i = 0; i < n; i++) {
    //     for (int j = 0; j < n; j++) printf("%d ", d[i][j]);
    //     putchar('\n');
    // }
}

inline void addEdge(const int u, const int v) {
    // printf("(%d, %d)\n", u, v);
    if (!N[u].flag) addEdge(S, u, 1), N[u].flag = true;
    addEdge(u, v + m, INT_MAX);
    if (!N[v + m].flag) addEdge(v + m, T, 1), N[v + m].flag = true;
}

int main() {
    freopen("flight.in", "r", stdin);
    // freopen("flight.out", "w", stdout);

    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &p[i]);
    for (int i = 0; i < n; i++) for (int j = 0; j < n; j++) scanf("%d", &t[i][j]), d[i][j] = t[i][j];

    floyd();

    for (int i = 0; i < m; i++) scanf("%d %d %d", &A[i].s, &A[i].t, &A[i].time), A[i].s--, A[i].t--;

    // for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d\n", p[i]);
    // for (int i = 0; i < m; i++) printf("%d %d %d\n", A[i].s, A[i].t, A[i].time);

    S = 0, T = m * 2 + 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        Airline &a = A[i - 1];
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            Airline &b = A[j - 1];

            if (   (a.time + t[a.s][a.t] + p[a.t] + d[a.t][b.s] + p[b.s] <= b.time)
                || (a.time + t[a.s][a.t] + p[a.t] <= b.time && a.t == b.s)
               ) {
                addEdge(i, j);
            }
        }
    }

    int flow = dinic(S, T, m * 2 + 2);
    printf("%d\n", m - flow);

    fclose(stdin);
    fclose(stdout);

    return 0;
}