「HAOI2007」分割矩阵 - 搜索

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将一个 的数字矩阵进行如下分割：将原矩阵沿某一条直线分割成两个矩阵，再将生成的两个矩阵继续如此分割（当然也可以只分割其中的一个），这样分割了 次后，原矩阵被分割成了 个矩阵。（每次分割都只能沿着数字间的缝隙进行）原矩阵中每一位置上有一个分值，一个矩阵的总分为其所含各位置上分值之和。现在需要把矩阵按上述规则分割成 个矩阵，并使各矩阵总分的均方差最小。请编程对给出的矩阵及 ，求出均方差的最小值。

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BZOJ 1048

题解

设答案为 ，分割出的所有矩阵分数分别为 ，设总和 平均值 ，则有

最小化 ，即每一块的平方和，即可。

记忆化搜索， 表示左上角为 ，右下角为 的矩阵，切 刀得到的每一块的平方和的最小值。转移时枚举横切或纵切的位置，枚举切出的两块继续切的次数。

与 同阶，时间复杂度为

代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <algorithm>

const int MAXN = 10;

int n, m, k, a[MAXN + 1][MAXN + 1], s[MAXN + 1][MAXN + 1];

inline int sum(int i1, int j1, int i2, int j2) {
    return s[i2][j2] - s[i1 - 1][j2] - s[i2][j1 - 1] + s[i1 - 1][j1 - 1];
}

inline void prepare() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int sumLine = 0;
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            sumLine += a[i][j];
            s[i][j] = s[i - 1][j] + sumLine;
        }
    }
}

template <typename T> T sqr(T x) { return x * x; }

inline int search(int i1, int j1, int i2, int j2, int cnt) {
    static int mem[MAXN + 1][MAXN + 1][MAXN + 1][MAXN + 1][MAXN + 1];
    static bool calced[MAXN + 1][MAXN + 1][MAXN + 1][MAXN + 1][MAXN + 1];
    int &ans = mem[i1][j1][i2][j2][cnt];
    if (calced[i1][j1][i2][j2][cnt]) return ans;
    calced[i1][j1][i2][j2][cnt] = true;

    if (!cnt) {
        return ans = sqr(sum(i1, j1, i2, j2));
    }

    ans = INT_MAX;

    for (int i = i1; i < i2; i++) {
        for (int l = 0; l < cnt; l++) {
            int x1 = search(i + 1, j1, i2, j2, l);
            int x2 = search(i1, j1, i, j2, cnt - l - 1);
            if (x1 != INT_MAX && x2 != INT_MAX) ans = std::min(ans, x1 + x2);
        }
    }

    for (int j = j1; j < j2; j++) {
        for (int l = 0; l < cnt; l++) {
            int x1 = search(i1, j + 1, i2, j2, l);
            int x2 = search(i1, j1, i2, j, cnt - l - 1);
            if (x1 != INT_MAX && x2 != INT_MAX) ans = std::min(ans, x1 + x2);
        }
    }

    // printf("search(%d, %d, %d, %d, %d) = %d\n", i1, j1, i2, j2, cnt, ans);

    return ans;
}

int main() {
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }

    prepare();

    int ans = search(1, 1, n, m, k - 1);

    // printf("%d\n", ans);
    printf("%.2lf\n", sqrt((ans * k - sqr(s[n][m])) / static_cast<double>(sqr(k))));

    return 0;
}