Dinic 学习笔记

Dinic 算法是一种对于网络流问题的增广路算法，它通过对残量网络进行分层，并在层次图上寻找增广路的方式，实现了在的时间内求出网络的最大流。

定义

容量：表示一条有向边的最大允许的流量。
流量：表示一条有向边总容量中已被占用的流量。
剩余容量：即，表示当前时刻某条有向边总流量中未被占用的部分。
反向边：原图中每一条有向边在残量网络中都有对应的反向边，反向边的容量为，容量的变化与原边相反；『反向边』的概念是相对的，即一条边的反向边的反向边是它本身。
残量网络：在原图的基础之上，添加每条边对应的反向边，并储存每条边的当前流量。残量网络会在算法进行的过程中被修改。
增广路（augmenting path）：残量网络中从源点到汇点的一条路径，增广路上所有边中最小的剩余容量为增广流量。
增广（augmenting）：在残量网络中寻找一条增广路，并将增广路上所有边的流量加上增广流量的过程。
层次：表示节点在层次图中与源点的距离。
层次图：在原残量网络中按照每个节点的层次来分层，只保留相邻两层的节点的图，满载（即流量等于容量）的边不存在于层次图中。

算法

遍历残量网络，建立层次图；
在层次图上寻找任意一条增广路，进行增广，并将答案加上增广流量；
重复第 2 步，直至层次图中不存在增广路，回到第 1 步重新建立层次图；
直到层次图无法建立，则当前流量即为最大流量。

每次建立层次图后都可以进行多次增广，无法增广时重新建立层次图，此时的层次图不再包含之前进行增广后满载的边。无法建立层次图时，说明源点到汇点的任意一条简单路径中，都至少有一条边满载，这也在直观上验证了最小割最大流定理。

优化

Dinic 有一个常见的优化——当前弧优化。

该优化基于一个显而易见的事实，每次建立层次图后，如果在某一次增广前，某个点有一条边增广过了，则这条边在当前的层次图中不会再用到了，即下一次 DFS 这个点的时候直接可以从这条边的下一条边开始。

代码实现

struct Node {
    struct Edge *firstEdge, *currentEdge;
    int level;
} N[MAXN];

struct Edge {
    Node *from, *to;
    int capacity, flow;
    Edge *next, *reversedEdge;

    Edge(Node *from, Node *to, int capacity) : from(from), to(to), capacity(capacity), next(from->firstEdge), flow(0) {}
};

struct Dinic {
    bool makeLevelGraph(Node *s, Node *t, int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            N[i].level = 0;
            N[i].currentEdge = N[i].firstEdge;
        }

        std::queue<Node *> q;
        q.push(s);
        s->level = 1;

        while (!q.empty()) {
            Node *v = q.front();
            q.pop();

            for (Edge *e = v->firstEdge; e; e = e->next) {
                if (e->flow < e->capacity && e->to->level == 0) {
                    e->to->level = v->level + 1;
                    if (e->to == t) return true;
                    else q.push(e->to);
                }
            }
        }

        return false;
    }

    int findPath(Node *s, Node *t, int limit = INT_MAX) {
        if (s == t) return limit;

        for (Edge *&e = s->currentEdge; e; e = e->next) {
            if (e->flow < e->capacity && e->to->level == s->level + 1) {
                int flow = findPath(e->to, t, std::min(limit, e->capacity - e->flow));
                if (flow > 0) {
                    e->flow += flow;
                    e->reversedEdge->flow -= flow;
                    return flow;
                }
            }
        }

        return 0;
    }

    int operator()(int s, int t, int n) {
        int ans = 0;
        while (makeLevelGraph(&N[s], &N[t], n)) {
            int flow;
            while ((flow = findPath(&N[s], &N[t])) > 0) ans += flow;
        }

        return ans;
    }
} dinic;

inline void addEdge(int from, int to, int capacity) {
    N[from].firstEdge = new Edge(&N[from], &N[to], capacity);
    N[to].firstEdge = new Edge(&N[to], &N[from], 0);

    N[from].firstEdge->reversedEdge = N[to].firstEdge, N[to].firstEdge->reversedEdge = N[from].firstEdge;
}