将按照顺序排列的 ~ 打乱，重新排列，要求每个元素都不能在自己原有的位置上，求方案总数。
设答案为 。
首先考虑第 号位置上放哪个元素，有 种方案，假设放的是 ；
考虑把 号元素放在哪个位置，如果我们删掉 号位置（不再考虑原有的 号元素），然后把 号元素的标号改为 ，这样问题就成为了一个子问题 。
但是这样考虑是有问题的 —— 原有的 号元素被编号为 1 后，就再也不可能被放到 1 号位置了，但原问题中，这是一种可行方案，所以要把这种情况加上。如果把 号元素放到 1 号位置，可以不再考虑这两个位置，问题转化为另一个子问题 。
这样，我们得到一个递推式